Das Sozialstaatsprinzip / Grundeinkommen

Wir wollen uns hier Gedanken machen, wie der Staat ein Grundeinkommen sicherstellen kann.
In einem Sozialstaat sollen die Grundbedürfnisse – Nahrung, Wohnung, Kleidung usw. – jedes Bürgers erfüllt werden. Da nicht jeder genug verdient, um dies selbst zu finanzieren, muss der Staat (durch Steuern und Hilfszahlungen für Bedürftige) Einkommen umverteilen.

Da wir hier nur diese soziale Umverteilung betrachten, trennen wir die Umverteilungsabgabe von den sonstigen Steuern ab.
Wir nehmen an, die Bürger seien von 1 bis n durchnummeriert.
Sei B_i das Einkommen des Bürgers i (nach Abzug von Sozialversicherung und der sonstigen Steuern) vor der Umverteilung, N_i das nach der Umverteilung.
Wir setzen hier ein besonders einfaches Umverteilungssystem voraus, in dem N_i linear von B_i abhängt:
N_i=G+(1-a)B_i,
mit 0≤a≤1 und G≥0. G ist das (bedingungslose) Grundeinkommen, a der Umverteilungsabgabensatz.
Der Staat zahlt ∑(N_i-B_i)=nG-a∑B_i (Summe über i von 1 bis n). Sei B=∑B_i.

Da die Umverteilung sich selbst finanzieren soll, ist im Idealfall nG=aB.
Da G und a zuerst festgesetzt werden, bevor B bekannt ist, ist dies nicht immer exakt zu erreichen. Die Differenz wird über Schulden finanziert, bzw. Schulden zurückgezahlt, wenn die Differenz negativ ist.
Da der Staat keine langfristigen Schulden für die Umverteilung machen soll, muss nG-aB im langjährigen Mittel 0 sein.
Je höher G und a sind, desto geringer ist die Motivation zu arbeiten. Je weniger die Menschen arbeiten, desto geringer wird auch das Gesamteinkommen B ausfallen. Also hängt B von G und a ab. (Für kleine G kann B auch mit wachsendem G wachsen wegen der höheren Nachfrage.)
Idealerweise wäre G so zu wählen dass nG=aB.
(Wenn man annimmt, dass B stetig von G abhängt, existiert ein solches G, da die rechte Seite für G=0 positiv ist und mit wachsendem G sinkt.)
Die Lösung G hängt von a ab. Im optimalen Sozialstaat sollte a so gewählt werden, dass G maximal ist, so dass die Ärmsten möglichst gut versorgt sind. Zumindest sollte G den Lebensunterhalt sicherstellen.
Da nicht klar ist, wie B genau von G und a abhängt, müsste der Idealwert von a durch Probieren verschiedener Werte angenähert werden.