Das Unendliche - Teil 1

Warnhinweis: Dieser Blogeintrag enthält Mathematik.

Zunächst einmal ist es bemerkenswert, dass wir überhaupt über Unendlichkeit reden können, obwohl wir doch nur endlich viel sagen können.
Wir sagen z.B. 1,2,3,... und in den drei Pünktchen versteckt sich die Unendlichkeit der natürlichen Zahlen (die wir mit N bezeichnen). Und diese lassen sich sogar exakt beschreiben durch endlich viele Axiome.

Das erste, was man über unendliche Mengen wissen muss, ist, dass sie nicht kleiner werden, wenn man endlich viele Elemente entfernt. Z.B. ist die Menge 2, 3, 4,... genauso groß wie die Menge 1, 2, 3,.... Genauer gesagt: man kann die Elemente der einen Menge denen der anderen Menge eindeutig zuordnen, indem man z.B. die Zahl n auf n-1 abbildet.
Jedoch sind nicht alle unendlichen Mengen gleich groß. Nach einem grundlegenden Satz von Cantor ist die Menge aller Teilmengen einer Menge M größer als die Menge M. Deshalb gibt es unendlich viele Stufen der Unendlichkeit, immer größere unendliche Mengen.
Die natürlichen Zahlen bilden die kleinste Stufe - die sogenannte abzählbare Unendlichkeit.

Die Menge aller Teilmengen von N ist genauso groß wie die Menge aller reellen Zahlen; das sind so Zahlen wie 0,3757858945... oder π=3,141459... . Hier haben wir schon eine Schwierigkeit: Wir können eine Zahl wie 0,3757858945... nicht genau angeben - wir müssten unendlich viele Ziffern hinschreiben. Es sei denn, diese Zahl hat irgendeine besondere Eigenschaft, durch die sie sich eindeutig beschreiben lässt. Z.B. hat π solche Eigenschaften; es gibt Algorithmen, die π mit beliebiger Genauigkeit berechnen. Ein solcher Algorithmus ist eine endliche exakte Beschreibung dieser Zahl.

Wieviele Zahlen lassen sich exakt beschreiben?
Eine solche Beschreibung besteht aus endlich vielen Zeichen aus einem endlichen Alphabet.
Es gibt nur abzählbar viele solche Zeichenfolgen.
Also gibt es auch nur abzählbar viele solche Zahlen.
Daraus folgt, dass die meisten reellen Zahlen sich nicht eindeutig beschreiben lassen.